Pembahasan metode psor pada pencarian distribusi suhu benda padat 3 dimensi keadaan tunak

Pembahasan metode psor pada pencarian distribusi suhu benda padat 3 dimensi keadaan tunak. Penelitian ini bertujuan untuk (1) menentukan metode beda-hingga terbaik dalam pencarian distribusi ssuhu pada benda padat 3 dimensi keadaan tunak (2) menentukan pengaruh parameter relaksasi dari metode PSOR terhadap jumlah iterasi dan kecepatan penyelesaian dalam pencarian distribusi suhu pada benda padat 3 dimensi keadaan tunak. Model matematik yang ditinjau merupakan persamaan Laplace 3 dimensi. Benda uji berbentuk kubus dengan ukuran (imax, jmax, kmax)=(21,21,21). Dengan kondisi batas : Dirichlet untuk semua dinding benda uji. Pengujian pertama dilakukan dengan memvariasikan kondisi batas dan kondisi awal perhitungan. Sebagai wakil, dipilih titik-tengah benda uji untuk dianalisis. Sedangkan pengujian kedua, dilakukan dengan memvariasikan harga parameter relaksasi dari metode PSOR untuk berbagai kondisi batas dan suhu awal perhitungan. Hasil penelitian memperlihatkan : (1) Metode PSOR menghasilkan jumlah iterasi paling sedikit dan mempunyai kecepatan penyelesaian paling tinggi dibandingkan metode Jacobi dan PGS (2) Pemilihan harga parameter relaksasi yang tepat dari metode PSOR akan menghasilkan jumlah iterasi dan kecepatan penyelesaian. Pada penelitian ini untuk harga parameter relaksasi ω = 1,7-1,8 menghasilkan kecepatan penyelesaian yang tinggi.

Kata Kunci : metode beda hingga, metode PSOR, Metode Jacobi, metode PGS, parameter relaksasi

1. Pendahuluan

Pencarian distribusi suhu pada benda padat 2 dimensi (2D) keadaan tunak tanpa pembangkitan energi dan dengan asumsi sifat bahan tidak berubah terhadap perubahan suhu, dapat dicari dengan cara menyelesaikan persamaan Laplace 2D. Hasil penelitian yang telah dilakukan dengan metode komputasi numerik beda-hingga (Klaus A. Hoffmann, 1987), diperoleh kesimpulan
: metode PSOR mampu memberikan jumlah iterasi yang sedikit dibandingkan dengan metode PGS maupun metode LGS. Diperoleh juga bahwa kecepatan penyelesaian metode PSOR lebih tinggi dibandingkan dengan metode PGS dan LGS. Tabel 1 memperlihatkan data-data hasil penelitian tersebut. Sedangkan hasil penelitian yang dilakukan peneliti lain (Purwadi PK, 1999), mendukung kesimpulan tersebut, seperti yang ditunjukkan pada tabel 2.

Tabel 1 : Jumlah iterasi dan waktu komputasi untuk berbagai metode

No	Metode	Jumlah Iterasi	Waktu Penyelesaian (detik)
1	Point Gauss Seidel (PGS)	574	5,524
2	Line Gauss Seidel (LGS)	308	7,196
3	Point Over Succesive Relaxation (PSOR)	52	1,08

 Catatan : 1. Ukuran penampang benda 2D : 1 inch x 2 inch

2. Kondisi batas : y=0 T=100 ^oC, x = 0 T=0 ^oC, y = 2 inc T 0 ^oC dan x = 1 inc T= 0 ^oC

Tabel 2 : Jumlah iterasi berbagai metode

No	Metode	Jumlah Iterasi
1	Jacobi	243
2	Point Gauss Seidel (PGS)	123
3	Line Gauss Seidel (LGS)	65
4	Point Over Succesive Relaxation (PSOR), w = 1,57	24

 Catatan : 1. imax x jmax = 10 x 16, Δx = Δy

2. Semua kondisi batas, bersuhu = 100 ^oC, suhu awal perhitungan : 10 ^oC

Untuk kasus 3D keadaan tunak tanpa sumber pembangkitan energi di dalam sistem/benda (dikenal dengan persamaan Laplace 3D), penyelesaian dengan metode beda-hingga belum banyak diulas. Beberapa buku seperti yang ditulis Chung Yau Lam (1994) dan Frank Kreith (1991), mengulas tidak begitu dalam. Chung Yau Lam hanya menampilkan persamaan Laplace 3D dalam persamaan beda hingga cara Jacobi tanpa penjelasan yang rinci, demikian juga Frank Kreith. Untuk metode PGS, Purwadi (Medika Teknika, 2001) mengulas lebih detail, dengan disertai hasil penelitian untuk beberapa kasus dengan variasi kondisi batas dan variasi suhu awal perhitungan. Kecepatan penyelesaian metode PGS sekitar 2,5x dari metode Jacobi. Sedangkan jumlah iterasi yang diperlukan untuk menyelesaikan persoalan, metode Jacobi hampir 2x lebih banyak dari metode PGS (Purwadi PK, 2002)

Dari hasil kedua penelitian untuk kasus pencarian distribusi suhu pada benda padat 2 dimensi (2D) yang telah dilakukan di atas, nampak bahwa metode PSOR lebih unggul dari metode lainnya. Dengan latar belakang tersebut, untuk memperluas pengetahuan yang sudah ada, dilakukan penelitian terhadap pemakaian metode PSOR dalam pencarian distribusi suhu pada benda padat 3D keadaan tunak dengan tanpa pembangkitan kalor di dalam sistem. Pertanyaan penting yang perlu dicarikan jawabannya : (1) Apakah metode PSOR tersebut masih mempunyai keunggulan seperti ketika diterapkan dalam kasus 2D dibandingkan dengan metode Jacobi maupun PGS ? (2). Bagaimanakah pengaruh parameter relaksasi ω dari metode PSOR terhadap jumlah iterasi dan kecepatan penyelesaian ?. Penelitian dilakukan dengan mempergunakan metode PSOR yang didapat dari pengembangan metode PSOR yang dipakai pada kasus 2D (Klaus A. Hoffmann,1987).

2. Batasan Masalah.

Penelitian dilakukan dengan menyelesaikan model matematik yang sesuai dengan persoalan, yaitu persamaan Laplace 3D. Benda uji berbentuk kubus dengan ukuran a x a x a. Kondisi batas untuk semua dindingnya dipilih merupakan kondisi batas Dirichlet. Sifat bahan homogen dan tidak berubah terhadap perubahan suhu.

3. Dasar Teori

Penyelesaian persamaan (1) dengan metode beda hingga, dilakukan dengan menuliskan terlebih dahulu ke dalam bentuk persamaan beda hingga. Dengan memanfaatkan deret Taylor, persamaan (1) dengan metode beda hingga dapat didekati dengan persamaan (2) :

Gambar 1 : Koordinat benda uji

4. Prosedur pencarian distribusi suhu dengan metode PSOR

Dipilih benda uji dengan geometri kubus ukuran : 2 cm x 2 cm x 2 cm, atau ukuran : (imax, jmax, kmax) = (21, 21, 21). Prosedur pengambilan data pada iterasi ke n+1 dengan metode PSOR, dilakukan dengan cara sebagai berikut :

a. Tentukan harga Δx , Δy , Δz. Buat koordinat i,j,k pada kubus yang bersisi a (dalam hal ini harga a = 2 cm), harga i berjalan dari 1 sampai dengan imax dengan penambahan harga persatuannya sebesar Δx, harga j berjalan dari 1 sampai jmax dengan penambahan harga persatuannya sebesar Δy dan z berjalan dari 1 sampai dengan kmax dengan penambahan harga persatuannya sebesar Δz (lihat Gambar 1).

b. Tentukan suhu pada kondisi batas untuk masing masing sisi kubus (pada persoalan ini, dipilih kondisi batas Dirichlet), dan tentukan harga parameter relaksasinya.

c. Dengan mempergunakan persamaan (7), hitung distribusi suhu pada i = 2,3,4,..,imax-1, pada j=k=2.

d. Lakukan point c, tetapi dengan j yang dinaikkan, j = 3,4,5,…,jmak-1, dengan harga k tetap pada k=2.

e. Lakukan point c dan d berulang ulang tetapi, dengan harga k yang dinaikkan k = 3,4,5,…, kmak-1.

Pengaruh parameter relaksasi ω terhadap jumlah iterasi dapat dilihat dengan memvariasikan harganya.

5. Hasil Perhitungan dan Pembahasan

Hasil perhitungan dirangkum dalam tabel 1, tabel 2, tabel 3, tabel 4, tabel 5 dan tabel 6 pada lampiran. Dari tabel 1, 2 dan tabel 3, dapat dilihat pengaruh variasi pengambilan suhu kondisi batas dan variasi pengambilan suhu awal perhitungan terhadap jumlah iterasi. Catatan jumlah iterasi tersebut dimulai dari awal iterasi sampai akhir iterasi ketika keadaan tunak dicapai, sampai 3 angka dibelakang koma.

Untuk metode yang sama, semakin sedikit jumlah iterasi yang diperlukan, berarti semakin sedikit waktu perhitungan yang diperlukan untuk mendapatkan suhu keadaan tunak pada titik yang ditinjau. Masing masing metode memiliki waktu per-iterasi yang tidak sama, tetapi selisih antara metode yang satu dengan metode yang lain tidak begitu besar. Karenanya jika misalnya diperoleh jumlah iterasi sama, maka kecepatan penyelesaiannya tidak sama. Berdasarkan program yang dibuat peneliti dan berdasarkan beberapa kasus yang ditinjau, hasil penelitian memperlihatkan perbandingan waktu periterasi rata rata antara metode Jacobi : PGS : PSOR = 5,680 : 5,244 : 4,870. Dengan demikian waktu tercepat periterasi dimiliki oleh metode PSOR.

Dari tabel 1 sampai tabel 3 dapat dilihat perbandingan jumlah iterasi untuk masing masing metode untuk setiap kasus. Metode Jacobi memerlukan jumlah iterasi sekitar 2x dari metode PGS, dan sekitar 15,5 x dari metode PSOR (harga ω= 1,8). Kesimpulannya, metode PSOR mempunyai jumlah iterasi paling sedikit dalam menyelesaikan persoalan. Dengan demikian kecepatan penyelesaian paling tinggi dimiliki metode PSOR.

Dari tabel 4, 5 dan tabel 6, dapat dilihat pengaruh pengambilan ω terhadap jumlah iterasi yang dihasilkan metode PSOR. Pengambilan harga parameter relaksasi yang tepat memungkinkan didapatkannya jumlah iterasi yang kecil. Pengambilan harga ω = 1,8 kelihatan nampak sangat menguntungkan, demikian juga untuk ω = 1,7. Bila pengambilan harga ω = 1,1 atau ω = 1,2 meski juga memberikan iterasi yang lebih kecil dari metode Jacobi dan PGS, ditinjau dari metode PSOR ternyata memberikan hasil yang tidak begitu menguntungkan.

Dari tabel 1, 2, 3 nampak juga pengaruh pengambilan suhu awal perhitungan terhadap jumlah iterasi. Bila pengambilan suhu awal perhitungan tepat, maka jumlah iterasi yang dihasilkan juga sedikit. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa metode PSOR tetap memberikan jumlah iterasi yang paling sedikit dan waktu penyelesaian yang paling cepat dibandingkan dengan metode Jacobi dan metode PGS

.

5. Kesimpulan

a. Metode PSOR menghasilkan jumlah iterasi paling sedikit dan mempunyai kecepatan penyelesaian paling tinggi dibandingkan metode Jacobi dan PGS.

b. Pemilihan harga parameter relaksasi yang tepat dari metode PSOR akan menghasilkan jumlah iterasi dan kecepatan penyelesaian. Untuk harga parameter relaksasi ω = 1,7-1,8 menghasilkan kecepatan penyelesaian yang tinggi.